[R语言] 威尔逊定理

对于a∈M，令N={a,2*a,3*a,4*a,....(p-2)*a,(p-1)*a}

  令1 <= t1 <= p-1 ,1 <= t2 <= p-1,t1 ≠ t2

  那么t1*a∈N，t2*a∈N。

  若t1*a≡t2*a (mod p) ，那么|t1-t2|*a ≡ 0 (mod p)。

  因为|t1-t2|*a∈N，与N中元素不能被p除尽矛盾。

  所以t1*a≡t2*a不成立。

  那么N中元素对p取模后形成的集合为{1,2,3,4,...,p-1}.

  设x*a ≡ 1 (mod p)。

      当x=1时， x*a=a, 对p取模不为1，所以不成立。

      当x=p-1时，(p-1)*a=p*a-a, 对p取模不为1，所以不成立。

      当x=a时，a*a≡1 (mod p)，可得(a+1)*(a-1)≡ 0 (mod p),a=1或a=p-1 ，所以不成立。

  综上所述，x,a∈M，并且当a不同时，x也随之不同。

  所以，M集合中每一个元素a都能够找到一个与之配对的x，使得x*a ≡ 1 (mod p).

  (p-1)!=1*2*3*...p-1

        =1*(2*x1)*(3*x3)*...*(p-1)

  所以， (p-1)!≡1*(p-1)  (mod p)

  即，(p-1)!≡-1   (mod p) 

   证明完毕