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[python] 带你重拾线性代数

编程语言 编程语言 发布于:2021-12-31 13:42 | 阅读数:254 | 评论:0

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说明:

  • 文中所有涉及到的矩阵,若未做特殊说明均为方阵
一、向量的表示方法
1.1 引言
在二维平面中,我们都知道可以用有序实数对来表示一个向量,例如:     u=(4,2)  。它表示一条从原点出发,到达点(4,2)的有向线段。如下图所示:
DSC0000.png

但是一个向量为什么可以这样表示呢?它到底有着怎样的含义?
1.2 基
从1.1我们知道,一个向量可以表示成如(4,2)这样的形式。但这是怎么来的呢?如上图所示,我们将向量     u  分别在x轴和y轴上做投影,我们发现此时我们得到了4,2这两个数,这是巧合么?不过这当然不是。其原因是因为默认情况下,我们都选择了i=(1,0)T,j=(0,1)T来当作我们的基向量;而向量     u=(4,2)  所表示的含义就是,先     i  的方向移动4个单位,再向j的方向移动2个单位,这样便得到了向量(4,2),如下图:
DSC0001.png

因此,我们称     u=(4,2)T  为     i,j  的线性组合,即     u=4⋅i+2⋅j  。同时,由于     i,j  的模长为1,且相互垂直,我们称其为标准正交基
但是,如果我们选择其它不同的基向量,又会是怎么样呢?
二、矩阵与矩阵乘法
先给出结论:矩阵的本质是表示某个线性变换的操作步骤,而矩阵的乘法就是实施这个线性变换。
2.1 矩阵的概念
上一章我们谈到了向量,知道向量其实是一组(线性无关)基的线性组合。而我们把由多个向量拼接在一起的m行n列的矩形表格称之为矩阵,若m=n,则称之为n阶矩(方)阵。
2.2 矩阵及矩阵乘法的本质
矩阵的本质是什么?下面我们通过两个例子来说明。
例1.
我们知道在平面直角坐标系中,我们默认用的基向量分别是     i=(1,0)T,j=(0,1)T  ,如下图所示:
DSC0002.png

现有向量     α=(32√,32√)  ,矩阵


     U=⎡⎣⎢⎢⎢12√12√−12√12√⎤⎦⎥⎥⎥  


则:
   β=UαT=[0,3]T 。我们发现,向量
   β 是向量
   α 逆时针旋转45度之后的结果。那么矩阵U的作用就是将原有的坐标系旋转45度吗?答案是肯定的。


矩阵U告诉我们,他的作用是将原有的坐标系
   π1 逆时针旋转45度,且旋转之后的坐标系
   π2 的基向量,在
   π1 中的表示结果分别为:


     i^=(12√,12√)T,j^=(−12√,12√)  


如下图所示:


DSC0003.png

上面说到将坐标系     π1  旋转45度后,     α  变成了     β  ,且向量     β  在     π1  中的表示方法为     (0,3)T  ,那么在     π2  中的表示方法又是什么呢?明显,     β  在     π2  中,分别向     i^,j^  投影即可得到表示方式:


     ⎡⎣i^Tj^T⎤⎦⋅[03]=⎡⎣⎢⎢⎢12√−12√12√12√⎤⎦⎥⎥⎥⋅[03]=⎡⎣⎢⎢⎢32√32√⎤⎦⎥⎥⎥  


总结就是:
   π1 中的向量
   α ,经过线性变换
   U 作用之后,变成了向量β;且变换后的向量
   β 在
   π1 中的表示方法为
   (0,3)T ,在
   π2 中的表示方法为
   (32√,32√) .
例2.
现有向量     α=(1,22√)T  ,矩阵     U=⎡⎣1012√12√⎤⎦,w=Uα=(3,2)T,UTw=(3,52√)  ,经过变换后的向量为     β  ,则有:
     π1  中的向量     α  ,经过线性变换     U  作用之后,变成了向量β;且变换后的向量     β  在     π1  中的表示方法为     (3,2)T  ,在     π2  中的表示方法为     (3,52√)  
注:基向量为单位向量
随便提一句,在PCA中,不就是把     α  直接投影到     π2  中么;所以PCA的首先就要求出表示     π2  的空间U,然后直接将     α  投影到     π2  中。
从以上我们可以知道:
(1). 线性变化是操纵空间的一种手段,而这种手段用矩阵来描述;
(2). 你所使用的变换矩阵(U)代表的是变换后的坐标系     (π2)  的基向量在当前坐标系     (π1)  下的表示方式;
(3). 矩阵U既是一种对线性变换的描述,(列向量)也是一组基向量
三、行列式




  • 方阵行列式的绝对值表示原空间经过该变换后空间被压缩的倍数;
  • 秩表示空间被压缩后剩下的维度(列空间);



四、特征向量与特征值
设A是n阶矩阵,     λ  是一个数,若存在n维非零列向量     ξ  ,使得


     Aξ=λξ(ξ≠0)(4.1)  


则称     λ  是A的特征值,     ξ  是     A  的对应于λ的特征向量.
有没有觉得奇怪?一个矩阵乘以一个向量,怎么他就等于一个数乘以这个向量了。想要回答这个问题,我们就得回想矩阵的本质了。从前面我们可以知道,矩阵的本质就是表达了一系列线性变换的信息,比如旋转,压缩等等;并且最后通过矩阵的乘法来实现这一线性变换。
而等式     (4.1)  所表示的含义就是:原空间​​π1   中存在向量       ξ   ,在经过A这个矩阵的线性作用后       ξ   这个向量仅仅只是在长度上发生了改变,变成了原来的       λ   倍,所以才有了       (4.1)   这个等式
下面看个例子:
已知     A=[1022]  ,则很容易可以计算出     A  所对应的坐标系π2(单位化)的基向量为     i^=(1,0),j^=(12√,12√)  ,且     A  的特征值特征向量分别为:


λ1=1,ξ1=(1,0)T;λ2=2,ξ2=(2,1)T


我们先不画图,通过求解出来的信息,我们就能直接得出以下信息:
(1). 坐标系     π1  下存在两个向量     ξ1,ξ2  ;
(2). 这两个向量在通过A线性变换后仅仅只是在长度上发生了变化;
(3). 特征值     λ  的大小决定向量被拉伸的倍数;
(4). 向量     ξ1  伸长1倍以后,在     π1  中的表示依然是(1,0),在     π2  中的表示为     ATξ1=(1,12√)  ;
(5). 向量     ξ2  伸长2倍以后,在     π1  中的表示是     Aξ2=(4,2)  ,在     π2  中的表示是     ATξ2=(4,62√)  
下面我们通过画图来验证:
DSC0004.png

其中黑色坐标系为     π1  ,红色坐标系为     π2  
随便说一句:这也就是在PCA中,要选择前K个最大的特征值所对应的特征向量的原因,因为这样被拉伸的长度更大,样本点才会更离散,方差才会更大。






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