牛客网 暑期ACM多校训练营（第一场）A.Monotonic Matrix-矩阵转化为格子路径的非降路径计数，Lindström-Gessel-Viennot引
牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）A.Monotonic Matrix
这个题就是给你一个n*m的矩阵，往里面填{0,1,2}这三种数，要求是Ai,j⩽Ai+1,j，Ai,j⩽Ai,j+1 ，问你一共有几种填法。
变形一下就会发现其实是走非交叉格子路径计数，限制条件下的非降路径问题。就是从左上到右下走格子路径。从上到下为0——n，从左到右为0——m。
考虑 01 和 12 的分界线，是 (n, 0) 到 (0, m) 的两条不相交（可重合）路径，因为起点重合了，所以把其中一条路径往左上平移了一格，平移其中一条变成 (n-1, -1) 到 (-1, m-1) 变成起点 (n, 0) 和 (n-1, -1)，终点 (0, m) 和 (-1, m-1) 的严格不相交路径。可以想一下，分界线将格子图分成三部分，从左上到右下依次为0,1,2。(不好意思，史诗灾难级灵魂脱壳画手。。。)
叉姐说套Lindström–Gessel–Viennot引理:
就可以得到公式: (Cn+m, n) 2 - Cn+m, m - 1 *Cn+m, n-1。
通过组合数求解的模板，就可以了。
关于Lindström–Gessel–Viennot引理，具体的不清楚，有兴趣的自己去看吧。
和本题有关的传送门:
1.格子图中具有一定限制条件的非降路径数
2.非降路径问题
3.392-非降路径问题
4.Lindström–Gessel–Viennot lemma 应用两则
5.Lindström–Gessel–Viennot lemma
两份代码：一份自己的垃圾代码，一份叉姐的官方题解标程
代码:(我的)
1 #include<iostream>
2 #include<cstdio>
3 #include<cstring>
4 #include<cmath>
5 #include<algorithm>
6 #include<cmath>
7 using namespace std;
8 typedef long long ll;
9 const int N=1e5+5;
10 const ll MOD = 1e9+7;
11 ll F, Finv, inv;
12 void init()
13 {
14 inv = 1;
15 for(ll i = 2; i < N; i ++)
16 {
17 inv = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv % MOD;
18 }
19 F = Finv = 1;
20 for(ll i = 1; i < N; i ++)
21 {
22 F = F * 1ll * i % MOD;
23 Finv = Finv * 1ll * inv % MOD;
24 }
25 }
26 ll comb(ll n, ll m)//c(n,m);
27 {
28 if(m < 0 || m > n) return 0;
29 return F * 1ll * Finv % MOD * Finv % MOD;
30 }
31 int main()
32 {
33 init();
34 int n,m;
35 while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
36 ll cnt1=comb(n+m,n)*comb(n+m,n);
37 ll cnt2=comb(n+m,m-1)*comb(n+m,n-1);
38 ll ans=((cnt1-cnt2)%MOD+MOD)%MOD;
39 cout<<ans<<endl;
40 }
41 }代码:(叉姐的官方标程)
1 #include <bits/stdc++.h>
2
3 const int MOD = 1e9 + 7;
4
5 const int N = 1005;
6
7 int dp;
8
9 void update(int& x, int a)
10 {
11 x += a;
12 if (x >= MOD) {
13 x -= MOD;
14 }
15 }
16
17 int sqr(int x)
18 {
19 return 1LL * x * x % MOD;
20 }
21
22 int main()
23 {
24 dp = 1;
25 for (int i = 0; i < N; ++ i) {
26 for (int j = 0; j < N; ++ j) {
27 if (i) {
28 update(dp, dp);
29 }
30 if (j) {
31 update(dp, dp);
32 }
33 }
34 }
35 int n, m;
36 while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
37 printf("%d\n", static_cast<int>((sqr(dp) + MOD - 1LL * dp * dp % MOD) % MOD));
38 }
39 }溜了溜了。
文档来源：51CTO技术博客https://blog.51cto.com/u_15310764/3167899
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