牛客网 暑期ACM多校训练营（第一场）A.Monotonic Matrix-矩阵转化为格子路径的非降路径计数，Lindström-Gessel-Viennot引

盛夏的果实

牛客网暑期ACM多校训练营（第一场）

A.Monotonic Matrix
这个题就是给你一个n*m的矩阵，往里面填{0,1,2}这三种数，要求是Ai,j⩽Ai+1,j，Ai,j⩽Ai,j+1 ，问你一共有几种填法。
变形一下就会发现其实是走非交叉格子路径计数，限制条件下的非降路径问题。就是从左上到右下走格子路径。从上到下为0——n，从左到右为0——m。

考虑 01 和 12 的分界线，是 (n, 0) 到 (0, m) 的两条不相交（可重合）路径，因为起点重合了，所以把其中一条路径往左上平移了一格，平移其中一条变成 (n-1, -1) 到 (-1, m-1) 变成起点 (n, 0) 和 (n-1, -1)，终点 (0, m) 和 (-1, m-1) 的严格不相交路径。可以想一下，分界线将格子图分成三部分，从左上到右下依次为0,1,2。(不好意思，史诗灾难级灵魂脱壳画手。。。)

叉姐说套Lindström–Gessel–Viennot引理:

就可以得到公式: (Cn+m, n) 2 - Cn+m, m - 1 *Cn+m, n-1。
通过组合数求解的模板，就可以了。
关于Lindström–Gessel–Viennot引理，具体的不清楚，有兴趣的自己去看吧。
和本题有关的传送门:
1.格子图中具有一定限制条件的非降路径数
2.非降路径问题 
3.392-非降路径问题
4.Lindström–Gessel–Viennot lemma 应用两则
5.Lindström–Gessel–Viennot lemma
两份代码：一份自己的垃圾代码，一份叉姐的官方题解标程
代码:(我的)

1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 typedef long long ll;
 9 const int N=1e5+5;
10 const ll MOD = 1e9+7;
11 ll F[N], Finv[N], inv[N];
12 void init()
13 {
14   inv[1] = 1;
15   for(ll i = 2; i < N; i ++)
16   {
17     inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
18   }
19   F[0] = Finv[0] = 1;
20   for(ll i = 1; i < N; i ++)
21   {
22     F[i] = F[i-1] * 1ll * i % MOD;
23     Finv[i] = Finv[i-1] * 1ll * inv[i] % MOD;
24   }
25 }
26 ll comb(ll n, ll m)//c(n,m);
27 {
28   if(m < 0 || m > n) return 0;
29   return F[n] * 1ll * Finv[n - m] % MOD * Finv[m] % MOD;
30 }
31 int main()
32 {
33   init();
34   int n,m;
35   while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
36     ll cnt1=comb(n+m,n)*comb(n+m,n);
37     ll cnt2=comb(n+m,m-1)*comb(n+m,n-1);
38     ll ans=((cnt1-cnt2)%MOD+MOD)%MOD;
39     cout<<ans<<endl;
40   }
41 }

代码:(叉姐的官方标程)

1 #include <bits/stdc++.h>
 2 
 3 const int MOD = 1e9 + 7;
 4 
 5 const int N = 1005;
 6 
 7 int dp[N][N];
 8 
 9 void update(int& x, int a)
10 {
11   x += a;
12   if (x >= MOD) {
13     x -= MOD;
14   }
15 }
16 
17 int sqr(int x)
18 {
19   return 1LL * x * x % MOD;
20 }
21 
22 int main()
23 {
24   dp[0][0] = 1;
25   for (int i = 0; i < N; ++ i) {
26     for (int j = 0; j < N; ++ j) {
27       if (i) {
28         update(dp[i][j], dp[i - 1][j]);
29       }
30       if (j) {
31         update(dp[i][j], dp[i][j - 1]);
32       }
33     }
34   }
35   int n, m;
36   while (scanf("%d%d", &n, &m) == 2) {
37     printf("%d\n", static_cast<int>((sqr(dp[n][m]) + MOD - 1LL * dp[n - 1][m + 1] * dp[n + 1][m - 1] % MOD) % MOD));
38   }
39 }

溜了溜了。