带你重拾线性代数

三叶草

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说明：

文中所有涉及到的矩阵，若未做特殊说明均为方阵

一、向量的表示方法
1.1 引言
在二维平面中，我们都知道可以用有序实数对来表示一个向量，例如： u=（4,2）。它表示一条从原点出发，到达点(4,2)的有向线段。如下图所示：

但是一个向量为什么可以这样表示呢？它到底有着怎样的含义？
1.2 基
从1.1我们知道，一个向量可以表示成如(4,2)这样的形式。但这是怎么来的呢？如上图所示，我们将向量 u 分别在x轴和y轴上做投影，我们发现此时我们得到了4,2这两个数，这是巧合么？不过这当然不是。其原因是因为默认情况下，我们都选择了i=(1,0)T,j=(0,1)T来当作我们的基向量；而向量 u=(4,2) 所表示的含义就是，先 i 的方向移动4个单位，再向j的方向移动2个单位，这样便得到了向量(4,2)，如下图：

因此，我们称 u=(4,2)T 为 i,j 的线性组合，即 u=4⋅i+2⋅j 。同时，由于 i,j 的模长为1，且相互垂直，我们称其为标准正交基。
但是，如果我们选择其它不同的基向量，又会是怎么样呢？
二、矩阵与矩阵乘法
先给出结论：矩阵的本质是表示某个线性变换的操作步骤，而矩阵的乘法就是实施这个线性变换。
2.1 矩阵的概念
上一章我们谈到了向量，知道向量其实是一组（线性无关）基的线性组合。而我们把由多个向量拼接在一起的m行n列的矩形表格称之为矩阵，若m=n，则称之为n阶矩（方）阵。
2.2 矩阵及矩阵乘法的本质
矩阵的本质是什么？下面我们通过两个例子来说明。
例1.
我们知道在平面直角坐标系中，我们默认用的基向量分别是 i=(1,0)T,j=(0,1)T ，如下图所示：

现有向量    α=(32√,32√)  ，矩阵

   U=⎡⎣⎢⎢⎢12√12√−12√12√⎤⎦⎥⎥⎥

则：
β=UαT=[0,3]T 。我们发现，向量
β 是向量
α 逆时针旋转45度之后的结果。那么矩阵U的作用就是将原有的坐标系旋转45度吗？答案是肯定的。

矩阵U告诉我们，他的作用是将原有的坐标系
π1 逆时针旋转45度，且旋转之后的坐标系
π2 的基向量,在
π1 中的表示结果分别为:

   i^=(12√,12√)T,j^=(−12√,12√)

如下图所示：

上面说到将坐标系    π1  旋转45度后，    α  变成了    β  ，且向量    β  在    π1  中的表示方法为    (0,3)T  ，那么在    π2  中的表示方法又是什么呢？明显，    β  在    π2  中，分别向    i^,j^  投影即可得到表示方式：

   ⎡⎣i^Tj^T⎤⎦⋅[03]=⎡⎣⎢⎢⎢12√−12√12√12√⎤⎦⎥⎥⎥⋅[03]=⎡⎣⎢⎢⎢32√32√⎤⎦⎥⎥⎥

总结就是：
π1 中的向量
α ，经过线性变换
U 作用之后，变成了向量β；且变换后的向量
β 在
π1 中的表示方法为
(0,3)T ，在
π2 中的表示方法为
(32√,32√) .
例2.
现有向量    α=(1,22√)T  ，矩阵    U=⎡⎣1012√12√⎤⎦,w=Uα=(3,2)T,UTw=(3,52√)  ，经过变换后的向量为    β  ，则有：
   π1  中的向量    α  ,经过线性变换    U  作用之后，变成了向量β；且变换后的向量    β  在    π1  中的表示方法为    (3,2)T  ，在    π2  中的表示方法为    (3,52√)
注：基向量为单位向量
随便提一句，在PCA中，不就是把    α  直接投影到    π2  中么；所以PCA的首先就要求出表示    π2  的空间U，然后直接将    α  投影到    π2  中。
从以上我们可以知道：
(1). 线性变化是操纵空间的一种手段，而这种手段用矩阵来描述；
(2). 你所使用的变换矩阵(U)代表的是变换后的坐标系    (π2)  的基向量在当前坐标系    (π1)  下的表示方式；
(3). 矩阵U既是一种对线性变换的描述，（列向量）也是一组基向量
三、行列式

方阵行列式的绝对值表示原空间经过该变换后空间被压缩的倍数；
秩表示空间被压缩后剩下的维度（列空间）；

四、特征向量与特征值
设A是n阶矩阵，    λ  是一个数，若存在n维非零列向量    ξ  ，使得

   Aξ=λξ(ξ≠0)(4.1)

则称    λ  是A的特征值，    ξ  是    A  的对应于λ的特征向量.
有没有觉得奇怪？一个矩阵乘以一个向量，怎么他就等于一个数乘以这个向量了。想要回答这个问题，我们就得回想矩阵的本质了。从前面我们可以知道，矩阵的本质就是表达了一系列线性变换的信息，比如旋转，压缩等等；并且最后通过矩阵的乘法来实现这一线性变换。
而等式    (4.1)  所表示的含义就是：原空间π1 中存在向量    ξ ，在经过A这个矩阵的线性作用后    ξ 这个向量仅仅只是在长度上发生了改变，变成了原来的    λ 倍，所以才有了    (4.1) 这个等式
下面看个例子：
已知    A=[1022]  ，则很容易可以计算出    A  所对应的坐标系π2（单位化）的基向量为    i^=(1,0),j^=(12√，12√)  ，且    A  的特征值特征向量分别为：

λ1=1,ξ1=(1,0)T;λ2=2,ξ2=(2,1)T

我们先不画图，通过求解出来的信息，我们就能直接得出以下信息：
(1). 坐标系    π1  下存在两个向量    ξ1,ξ2  ；
(2). 这两个向量在通过A线性变换后仅仅只是在长度上发生了变化；
(3). 特征值    λ  的大小决定向量被拉伸的倍数；
(4). 向量    ξ1  伸长1倍以后，在    π1  中的表示依然是(1,0)，在    π2  中的表示为    ATξ1=(1,12√)  ；
(5). 向量    ξ2  伸长2倍以后，在    π1  中的表示是    Aξ2=(4,2)  ，在    π2  中的表示是    ATξ2=(4,62√)
下面我们通过画图来验证：

其中黑色坐标系为 π1 ，红色坐标系为 π2
随便说一句：这也就是在PCA中，要选择前K个最大的特征值所对应的特征向量的原因，因为这样被拉伸的长度更大，样本点才会更离散，方差才会更大。

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