R语言投资组合优化求解器：条件约束最优化、非线性规划求解

上山打老虎

　　本文将介绍R中可用于投资组合优化的不同求解器。
通用求解器　　通用求解器可以处理任意的非线性优化问题，但代价可能是收敛速度慢。

默认包
　　包stats（默认安装的基本R包）提供了几个通用的优化程序。

• optimize()。用于区间内的一维无约束函数优化（对于一维求根，使用uniroot()）。
  

f <- function(x) exp(-0.5*x) * sin(10*pi*x)
f(0.5)

 

result <- optimize(f, interval = c(0, 1), tol = 0.0001)
result

# 绘制
curve(0, 1, n = 200)

• optim()通用优化，有六种不同的优化方法。
  
  
  
  • Nelder-Mead：相对稳健的方法（默认），不需要导数。
    
  • CG：适用于高维无约束问题的低内存优化
    
  • BFGS：简单的无约束的准牛顿方法
    
  • L-BFGS-B：用于边界约束问题的优化
    
  • SANN: 模拟退火法
    
  • Brent: 用于一维问题（实际上是调用optimize()）。
    
  
  

　　这个例子做了一个最小二乘法拟合：最小化

# 要拟合的数据点
# 线性拟合的l2-norm误差平方 y ~ par[1] + par[2]*x
#  调用求解器（初始值为c(0, 1)，默认方法为 "Nelder-Mead"）。
optim(par = c(0, 1), f, data = dat)

# 绘制线性回归图

# 与R中内置的线性回归进行比较
lm(y ~ x, data = dat)

　　下一个例子说明了梯度的使用，著名的Rosenbrock香蕉函数：

　　，梯度

　　，无约束最小化问题

#  Rosenbrock香蕉函数及其梯度
banana <- function(x)
  c(-400 * x[1] * (x[2] - x[1] * x[1]) - 2 * (1 - x[1]),
     200 * (x[2] - x[1] * x[1]))
 optim(c(-1.2, 1), f_banana)

optim(c(-1.2, 1), f, gr, method = "BFGS")

 　　下面的例子使用了界约束。
　　最小化
　　约束： 

p <- length(x); sum(c(1, rep(4, p-1)) * (x - c(1, x[-p])^2)^2) }
# 25维度约束
optim(rep(3, 25), f,lower = rep(2, 25), upper = rep(4

　　这个例子使用模拟退火法（用于全局优化）。

#全局最小值在-15左右
res <- optim(50, f, method = "SANN")

# 现在进行局部改进(通常只改进了一小部分)
optim(res$par, f , method = "BFGS")

• constrOptim()。使用自适应约束算法，在线性不等式约束下最小化一个函数（调用optim()）。
  

#  不等式约束(ui %*% theta >= ci): x <= 0.9,  y - x > 0.1
constrOptim(c(.5, 0)

 

• nlm(): 这个函数使用牛顿式算法进行目标函数的最小化。
  

nlm(f, c(10,10))

• nlminb(): 进行***约束优化。.
  

nlminb(c(-1.2, 1), f)

nlminb(c(-1.2, 1), f, gr)

optim
　　基础函数optim()作为许多其他求解器的包，可以方便地使用和比较。

# opm() 可以同时使用几个方法
opm(  f , method = c("Nelder-Mead", "BFGS"))

全局优化
　　全局优化与局部优化的理念完全不同（全局优化求解器通常被称为随机求解器，试图避免局部最优点）。
特定类别问题的求解器　　如果要解决的问题属于某一类问题，如LS、LP、MILP、QP、SOCP或SDP，那么使用该类问题的专用求解器会更好。
 

最小二乘法 (LS)
　　线性最小二乘法（LS）问题是将 最小化，可能有界或线性约束。

线性规划(LP)
　　函数solveLP()，可以方便地解决以下形式的LP：
　　最小化：
　　约束：  

#> 加载所需软件包

cvec <- c(1800, 600, 600)  # 毛利率
bvec <- c(40, 90, 2500)  # 捐赠量
# 运行求解器
solveLP(maximum = TRUE)

 混合整数线性规划 (MILP)
　　lpSolve（比linprog快得多，因为它是用C语言编码的）可以解决线性混合整数问题（可能带有一些整数约束的LP）。

# 设置问题: 
#   maximize    x1 + 9 x2 + x3 
#   subject to  x1 + 2 x2 + 3 x3 <= 9
#         3 x1 + 2 x2 + 2 x3 <= 15
 
# 运行求解
res <- lp("max", f, con)

# 再次运行，这次要求三个变量都是整数
 lp(  int.vec = 1:3)

solution

二次规划 (QP)
　　可以方便地解决以下形式的QP

最小化：
约束：

# 设置问题: 
#   minimize  -(0 5 0) %*% x + 1/2 x^T x
#   subject to  A^T x >= b
#   with b = (-8,2,0)^T
#     (-4 2  0)
#   A = (-3 1 -2)
#     ( 0 0  1)
#运行求解
solve(Dmat,...)

 　　解决具有绝对值约束和目标函数中的绝对值的二次规划。

二阶锥规划 (SOCP)
　　有几个包:

• 　　ECOSolveR提供了一个与嵌入式COnic Solver（ECOS）的接口，这是一个著名的、高效的、稳健的C语言库，用于解决凸问题。
  
• 　　CLSOCP提供了一个用于解决SOCP问题的一步平滑牛顿方法的实现。
  

优化基础　　我们已经看到了两个包，它们是许多其他求解器的包。

用于凸问题、MIP和非凸问题
　　ROI包为处理R中的优化问题提供了一个框架。它使用面向对象的方法来定义和解决R中的各种优化任务，这些任务可以来自不同的问题类别（例如，线性、二次、非线性规划问题）。
　　LP – 考虑 LP:
　　最大化:

　　约束：

#> ROI: R 优化基础设施
#> 求解器插件: nlminb, ecos, lpsolve, scs.
#> 默认求解器: auto.
 OP(objective = L_objective(c(3, 7, -12)),...,
       maximum = TRUE)
#> 投资回报率优化问题:

# 让我们来看看可用的求解器
# solve it
res <- ROI_solve(prob)
res

 

　　MILP – 考虑先前的LP，并通过添加约束条件x2,x3∈Z使其成为一个MILP.

# 只需修改之前的问题
types(prob) <- c("C", "I", "I")
prob

 

　　BLP – 考虑二元线性规划 (BLP):
　　最小化：

　　约束：

OP(objective = L_objective,..., ,
       types = rep("B", 5))
ROI_solve(prob)
#> Optimal solution found.
#> The objective value is: -1.01e+02

 　　SOCP – 考虑SOCP:
　　最大化:
　　约束:
　　并注意到SOC约束   可以写成 或  ，在代码中实现为： 。

OP(objective = L_objective,...,
       maximum = TRUE)

 

SDP--考虑SDP:
　　最小化：
　　约束：
　　并注意SDP约束 可以写成 （大小为3是因为在我们的问题中，矩阵为2×2，但vech()提取了3个独立变量，因为矩阵是对称的）。

OP(objective = L_objective,..., 
                     rhs ))

 NLP – 考虑非线性规划(NLP)　　最大化

　　约束

OP(objective = F_objective,..., bounds ,
       maximum = TRUE)

 

凸优化
　　R为凸优化提供了一种面向对象的建模语言。它允许用户用自然的数学语法来制定凸优化问题，而不是大多数求解器所要求的限制性标准形式。通过使用具有已知数学特性的函数库，结合常数、变量和参数来指定目标和约束条件集。现在让我们看看几个例子。
　　最小二乘法 – 让我们从一个简单的LS例子开始：最小化
　　当然，我们可以使用R的基础线性模型拟合函数lm()。

# 生成数据
m <- 100
n <- 10
beta_true <- c(-4:5)

# 生成数据
res <- lm(y ~ 0 + X)   # 0表示我们的模型中没有截距。

 

　　用CVXR来做

result <- solve(prob)
str(result)

  

　　我们现在可以很容易地添加一个限制条件来解决非负的LS。

Problem(Minimize(obj), constraints = list(beta >= 0))
solve(prob)

　　稳健的Huber回归 - 让我们考虑稳健回归的简单例子：
　　最小化
　　其中  

sum(huber(y - X %*% beta, M)
Problem(Minimize(obj))
solve(prob)

 　　弹性网正则化 - 我们现在要解决的问题是：最小化

# 定义正则化项
elastic<- function(beta) {
  ridge <- (1 - alpha) * sum(beta^2)
  lasso <- alpha * p_norm(beta, 1)

# 定义问题并解决它
sum((y - X %*% beta)^2) + elastic(beta, lambda, alpha)
Problem(Minimize(obj))
solve(prob)

　　稀疏逆协方差矩阵--考虑矩阵值的凸问题：最大化 ，条件是

log_det(X) - matrix_trace(X %*% S)
list(sum(abs(X)) <= alpha)

　　协方差--考虑矩阵值的凸问题：在 的条件下，最大化 。

constr <- list(Sigma[1,1] == 0.2, Sigma[1,2] >= 0, Sigma[1,3] >= 0,
         Sigma[2,2] == 0.1, Sigma[2,3] <= 0, Sigma[2,4] <= 0,
         Sigma[3,3] == 0.3, Sigma[3,4] >= 0, Sigma[4,4] == 0.1)

　　投资组合优化--考虑马科维茨投资组合设计：最大化 ，

Problem(Maximize(obj), constr)
solve(prob)

 结论　　R语言中可用的求解器的数量很多。建议采取以下步骤。

• 如果是凸优化问题，那么开始进行初步测试。
  
• 如果速度不够快，使用ROI。
  
• 如果仍然需要更快的速度，那么如果问题属于定义好的类别之一，则使用该类别专用的求解器（例如，对于LP，推荐使用lpSolve，对于QP则使用quadprog）。
  
• 然而，如果问题不属于任何类别，那么就必须使用非线性优化的一般求解器。在这个意义上，如果一个局部的解决方案就够了，那么可以用许多求解器的包。如果需要全局求解器，那么软件包gloptim是一个不错的选择，它是许多全局求解器的包。