（ UVALive 7720）J - Super Sum（逆元+扩展欧几里得/费马小定理）（补）

Green

　　这道题我卡了一下午，原因是我之前写的数论题没用过逆元，之前写的一个（A/B）%mod的题，这个题当时就直接循环就水过去了，看了下别人写的 这是除法的模运算，用逆元求解的经典题型
　　分析：这道题中关键在与求一个等比数列的和 S=a1*(q^n-1)/(q-1) 但是直接求的时候就会q^n溢出，直接取模，就会错。
　　S=(A/B)%mod 实质就是求这个式子，可以变成这样： S=(A%mod/(B%mod))%mod？？？？？？？？
错的！！！ 正确的应该是这样： S=(A%mod*inv(B)%mod)%mod，inv(B)是B的逆元
　　可以用费马小定理和扩展欧几里得求逆元，貌似还能用递归，先把这些搞会吧
这两种方法求逆元的时候要求A和mod互质，而在这题中mod=1e9+7，这个数是质数，所以直接运用，如果不是指数可以用欧拉函数

#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105;
typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
struct Node
{
  LL l,r;
  LL x;
} A[N];
LL pow_mod(LL a,LL b)///快速幂乘法
{
  LL ans=1;
  a%=mod;
  while(b>0)
  {
    if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
    b>>=1;
    a=(a*a)%mod;
  }
  return ans;
}
void ext_gcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)///扩展欧几里得
{
  if(!b) d=a,x=1,y=0;
  else
  {
    ext_gcd(b,a%b,d,y,x);
    y-=x*(a/b);
  }
}
///用扩展欧几里得a*x%b+b*y%b=1%b,
///a*x%b=1%b,///a*x=1(modb)求解逆元
/*LL inv(LL a,LL p)
{
  LL d,x,y;
  ext_gcd(a,p,d,x,y);
  return d==1?(x%p+p)%p:-1;
}*/
用费马小定理求逆元
///a^(p-1) ≡1 (mod p)
///两边同除以a
///a^(p-2) ≡1/a (mod p)  1/a在数论中表示a的逆元， 此式子改写为a^(p-2)≡inv(a)(mod p)
LL fermat(LL a,LL p)
{
  return pow_mod(a,p-2);
}
int main()
{
  int t;
  scanf("%d",&t);
  for(int cas=1; cas<=t; cas++)
  {
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0; i<n; i++)
      scanf("%lld%lld%lld",&A[i].x,&A[i].l,&A[i].r);
    LL ans=1,tmp;
    LL S;///S为等比数列的和
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
      tmp=0;
      tmp=pow_mod(A[i].x,A[i].l)%mod;
      if(A[i].x!=1)
        S=((pow_mod(A[i].x,A[i].r-A[i].l+1)-1)%mod*fermat(A[i].x-1,mod))%mod;
      else
        S=(A[i].r-A[i].l+1)%mod;
      ans=(1LL*ans*tmp%mod*S%mod)%mod;
    }
    printf("Case #%d: %lld\n",cas,ans);
  }
}