Games101笔记：曲面细分、简化

唐伯虎

接下来主要介绍对几何的操作，分为以下三种
· Mesh subdivision(upsampling)
细分，增加三角形数量，将模型的面合理的分成更多小的面，从而增加细节，提升模型精度，提高渲染效果。


      

   

• Mesh Simplification (downsampling）
    
  

  简化，在尽量满足需求（如保证原有形状、外观）的前提下，减少三角形数量，提升性能。


      

   

• Mesh Regularization (same #triangles)
    
  

  正规化，Mesh 的三角形有时有大有小，形状不规则，对渲染会造成不便，我们将三角形变成近似大小的正三角形，即改变三角形质量同时不改变模型的质量。（如下图其实是失败了的，因为牛耳朵那里已经不同）


      

接下来详细介绍~
  Mesh Subdivision（曲面细分）
  基本上细分算法都分两步~

   

• 引入更多的顶点/面；
     
  
• 调整三角形的位置；
    
  

      

  Loop Subdivision
  以 Loop细分为例，（Loop 是人名）

   

• 引入三角形：
  连接三角形三条边的中点，即将一个三角形分为四个三角形；
    
  

      

2. 调整：将三角形区分为旧顶点（即原来就有的三个顶点），和新顶点（即三条边中间的那三个点），然后对新旧顶点分别应用不同规则，调整其位置。

   

• 新顶点位置的调整：
    
  

  思路：计算周围的几个旧顶点对其影响的比例，加权平均。
以下图中白点位置的计算为例


      

被两个三角形共享的点记为 A，B，未被共享的点记为C，D，应用如下公式，即得到新的白点的位置：


      

其中可以看出，该公式认为共享的点 A，B对白点影响较大，加权较大。（该点为周围几个点的加权平均）。

   

• 旧顶点位置的调整：
    
  

  思路：旧顶点既考虑周围的旧顶点对其影响，也考虑其自身本来的影响。
以下图白点计算为例


      

其中，n 代表白点的 度，即有多少条边经过白点（可以理解为有多少个其他的顶点对其产生影响），u 为一个规定好的数值，公式如下：


      

其中可以看出，当白点的度较小时，白点自身影响大，度较大时，周围的点影响大。
下图为 Loop 细分的结果：


      

  Catmull-Clark Subdivision (General Mesh)
  Loop 细分只能对三角形进行细分，有局限性。可以使用 Catmull-Clark Subdivision。
该细分的几个定义：

   

• 奇异点（Extraordinary vertex）：
  度不为 4 的点；
     
  
• Non-quad face：
  非 4 边形的面；
    
  

  思路：

   

• 引入更多的面：取每一条边的中点，每一个面的中点，再将边上的中点和面上的中点连接。
    
  

      

如上图，取边上的中点（红色），与面上的中点（黑色），连接起来即将其分成了更小的面。
2. 调整
也是将点分为新老点分别调整，但是新点又分为在面上的点，和在边上的点，如下图


           新点的调整（左为面，右为边）                 旧点的调整     

以上各个系数也为该算法认为的权重。
性质：由细分过程可知

   

• 在非四边形面内点的点，其必是奇异点（因为要与每条边相连，而边数又不是四）；
     
  
• 一次细分后，所有非四边形面都消失了；
     
  
• 后续的细分，奇异点数不会继续增加；
    
  

  下图为 Catmull-Clark 细分的结果


      

  Mesh Simplification（曲面简化）


      

介绍其中的一种方法：
Edge collapsing（边坍缩）
将一条边的两个顶点“捏”成一个顶点


           如上图，三个顶点，捏成了一个     

但是哪些边是重要的，不能捏起来，哪些边不重要，可以捏起来呢？
如果通过周围的点的平均来算，会产生如下图效果（黑色为原来的点，蓝色为简化后的点，蓝色三角形为简化后的样子）


      

可以看到，新生成的面（蓝色），比原本的样子（灰色）要小很多，不够好。
Quadric Error Metrics（⼆次误差度量）
找一个最优的点，使得该点到原来的边（面）的距离的平方和最小


      

思路：

   

• 可以使用贪心算法，每次坍缩都找距离最小的点；
     
  
• 每次坍缩后，都会导致原先距离改变，因此需要重新找到距离最小的；
    
  

  由以上两点可知，我们应该使用的结构为：优先队列（堆）


       

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作者：所以然
原文：https://zhuanlan.zhihu.com/p/382074891


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