《信号与系统》解读 第4章 连续信号的离散化：采样与采样定理、奈奎斯特准则、脉冲编码调制PCM

青衣

前言：
如果你对采样定理和奈奎斯特准则一知半解，本文将给茅塞顿开。
如果你对为什么采样频率必须大于等于原始信号的带宽的2倍，本文将给你答案。
目录
1. 信号与系统的模型
2. 为什么要对连续信号离散化？
3. 连续信号离散化（采样）的模型
3.1 采样的时域分析物理模型
3.2 采样信号的频谱
3.3 傅里叶运算的频移特性
3.4 采样的时域分析数学模型
3.5 采样信号的频域分析数学模型
3.6 信号的还原
4. 采样定理
4.1 不同采样频率的频谱图
4.2 奈奎斯特采样定理
4.3 对采样定理的进一步解读

1. 信号与系统的模型

采样是“系统”的功能，采样的目的是对输入的连续信号进行离散化处理。

2. 为什么要对连续信号离散化？

在上述架构中，中间的离散系统，通常是微处理器构建的计算机系统。
目的：
用有限的、离散的、时域信号的幅度来替代时域上无限的、连续的时域信号幅度。
采样的本质：脉冲编码调制PCM
PCM采样的本质是：用离散的方波脉冲信号传输时域信号。
PCM编码的本质是：用二进制传输离散的方波信号的幅度。
优点：
（1）数字化的信号便于计算机处理，离散化是连续信号数字化的前提。
（2）离散信号的频谱具备周期性特点，即具备了一定的规律性。
（3）信号的稳定性好、抗干扰性强、可靠性高
（4）利于传输
（5）处理灵活
（6）便于对信号进行进一步的处理，包括前文介绍的傅里叶变换。

3. 连续信号离散化（采样）的模型
3.1 采样的时域分析物理模型

采样器器，实际上是一一个脉冲式的开关，通过周期性的打开或关闭采样器的开关，从而获取时域连续信号的幅度。
连通后，所有的时域信号的所有的谐波频率分量都会通过采样器，到达输出。
这里有两个关键性的参数，采样输出信号的特性：
（1）脉冲信号的持续时间τ：由于是脉冲信号，因此τ的大小趋近于0。
（2）脉冲信号的周期T, 即采样周期！
这个参数非常重要，要确保采样后的信号大体保留原信号的特征，或者说要能够正确地从采样后的信号中还原先的信号，对采样周期T是有要求的，这个采样周期不能太大，采样速率不能太慢。
如果采样周期过大，采样速率太慢，就意味着获取到的时域信号的采样点个数太少，信息丢失较大。
如果采样周期太小，采样速率太快，就意味着获取到的时域信号的采样点个数太多，多到与连续信号没有什么差别，就起不到采样的目的。

在上图中，
信号1：为直流信号，信号的频率为0，因此任意采样率都是可以的，多个采样点其实是多余的。
信号2：为低频交流信号，采样率大于2倍的信号频率，能够反应信号的信息。
信号3：为中频交流信号，采样率等于信号频率，每次采样到信号的最大幅度，也可能采样信号的任意幅度。因此这样采样率的采样是不可靠的。
信号4：为高频交流信号，采样率小于信号的频率，那么每次采样到的信号的幅度值不是固定值，且肯定无法获取原信号的幅度特征，无法再现原先的信号！
至于到底采样多大的采样率采样才合适呢？
没有一个绝对的标准，这取决于时域信号内部的谐波分量的最大频率，根据奈奎斯特定理，这个采样的频率大约等于最大谐波频率的两倍。
至于为什么是2倍的关系，需从频率分析的角度来分析。
3.2 采样信号的频谱
（1）非周期单脉冲的频谱

特点：连续、全频谱、非周期
（2）周期脉冲信号的频谱

特点：离散、周期频谱
频谱间隔ω取决于采样周期T。ω = 2π/T, 采样周期越小，频谱间隔越大！
3.3 傅里叶运算的频移特性

时域上：两个信号相乘 x(t) * 
频域上：把x（t）的频谱X(ω)搬移到ω0处。
频移特性非常非常的重要！在移动通信和无线通信中，得到了及其广泛的应用。
射频解调和调制，就是利用了傅里叶运算的频移特性！
调制：把基带信号频谱搬移到载波信号的频谱周围。
解调：把调制后信号的频谱，在反向搬移到0频附近，留下基带信号的频谱！
这就是大名鼎鼎的频谱搬移！
详解：《信号与系统》解读 第3章 强大的傅里叶时域频域分析工具-4：傅里叶运算的5大主要特性
3.4 采样的时域分析数学模型
对上述的物理模型，进行数学建模，模型如下：

因此，采样的过程，实质上是两个信号相乘的过程：
（1）一个是周线性、离散的采样信号, 它是有无数个离散的脉冲信号构成，每个脉冲信号是前一个脉冲信号的延时：n*T.
（2）一个是原始的被采样的信号，这样得到一个离散信号的集合。
如上图所示，T为采样周期。时域信号采样后得到信号如下：

3.5 采样信号的频域分析数学模型
从上图可知，采样信号时域是离散周期脉冲信号。本质是周期、离散信号。
其频谱如下：
(1) 图形表示法

P(jw)：脉冲信号的频谱。
X(jw)：原始信号的频谱。
根据傅里叶的频移特性，原始信号的频谱X(jw)被搬移到脉冲信号所有谐波分量的频谱上。
原始信号的频谱搬移后，频谱的幅度被降低为原先的1/T倍。
上图有两个带宽：

• 采样信号的频谱间隔：Wsample = 2π/T,  T为采样周期，T越小，频谱间隔越大！
  
• 原始信号的频谱带宽：原始信号的最大谐波频率Wm
  

（3）数学表示法

3.6 信号的还原

根据采样信号的频谱图上，可以看出：
（1）通过一个低通滤波器，可以还原出原先的信号，只是幅度降低为采样信号周期的1/T倍。
（2）再通过一个放大器，对采样、滤波后的信号进行放大T倍，就可以得到原先的时域信号！

4. 采样定理
4.1 不同采样频率的频谱图
在原始信号的最大频率（频谱带宽）确定的情况下，经过采样后，原始信号的频谱会被搬移到采样信号的各个谐波分量上。
不同的采样频率，其采样后的信号的频谱图是不相同，如下图所示：

（1）Ws > 2*Wm
原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上，且搬移后的各个原始信号的频谱之间没有重叠 ，有一定的频率间隔，相互不干扰，因此很容容易通过低通或带通滤波器把原始信号过滤出来。
（2）Ws =  2*Wm
原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上，且搬移后的各个原始信号的频谱之间没有重叠 ，没有的频率间隔，且相互不干扰，但由于之间紧密相邻，需要高性能的低通或带通滤波器，才能把原始信号过滤出来。
（3）Ws < 2*Wm
原始信号的频谱被搬移到到采样信号的各个谐波分量上，且搬移后的各个原始信号的频谱之间出现重叠，导致相互干扰，因此无法还原原先的信号。
4.2 奈奎斯特采样定理
经过上述的分析，再来看采样定理，就很容易理解了：
采样定理是美国电信工程师H.奈奎斯特在1928年提出的，在数字信号处理领域中，采样定理是连续时间信号（通常称为“模拟信号”）和离散时间信号（通常称为“数字信号”）之间的基本桥梁。
该定理说明采样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。 它为采样率建立了一个足够的条件，该采样率允许离散采样序列从有限带宽的连续时间信号中捕获所有信息。
在进行模拟/数字信号的转换过程中，当采样频率fs.max大于信号中最高频率fmax的2倍时(fs.max>2fmax)，采样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息。
一般实际应用中保证采样频率为信号最高频率的2.56～4倍；采样定理又称奈奎斯特定理。

4.3 对采样定理的进一步解读
4.3.1 从频域的频率搬移的角度看采样定理

采样的本质是频率搬移，如果搬移后的信号的频域的频谱中谐波分量之间没有相互的干扰，根据傅里叶分析方法可以知道，时域的信号与原先的时域信号就是一致的。
只有采样频率Ws足够大，大到Ws>2Wm， 才能保证原始信号的频谱被搬移后，相互不重叠，这就是采样定理的内在原因。
4.3.2 从时域信号的角度看采样定理
Ws>=2Wm只是必要条件，而不是充分条件。从时域的角度看，Ws>2Wm时，并不一定完全恢复原先的信号，实际上是有损失的。
假设以时域信号中最高谐波分量为例， Ws = 2Wm
（1）有损恢复

如果，时域信号就是一个单一的正弦波，  且Ws = 2Wm。
那么，按照上图的时序采样，采样后的信号，还原出来后，得到的是一个三角波。
（2）无法恢复

如果，时域信号就是一个单一的正弦波，  且Ws = 2Wm。
那么，按照上图的时序采样，采用后的信号，还原出来后，得到的是0电平信号。很显然，无法恢复！
从上图分析可以看出，Ws >= 2Wm,并不应一定能恢复出原先的信号，特别是单音信号（单一频率的信号）。
那么为啥奈奎斯特还是说明Ws >= 2Wm，这是因为：
在实际系统中，原始信号往往还包含其他更低频率的分量，即使遇到上图无法恢复的情形，也只是针对的是高频分量，对于低频分量，还是可以有损恢复的。
时域的原始信号中的谐波分量，低频分量的占比越多，这个信号越容易恢复。即原始的时域信号，变化越缓慢，越容易恢复。
另外，在实际应用中，通常的采样频率为信号最高频率的2.56～4倍，至于多少倍，取决于原始时域信号本身在时域上的变化的程度。
时域中信号的变化程度，最终反映到时域信号中谐波分量的最高频率的大小。