《信号与系统》解读 第1章 信号与系统概述-5：非常重要！！！深入、详细地解读什么基本的复指数信号、IQ信号、欧拉公式？

Mike

前言：
正弦信号与复指数信号（更准确称为虚指数信号）是现代移动通信系统中最基本的信号。
其中正弦信号常是射频调制的载波信号，而虚指数信号，包含了两路同频的正交正弦与余弦信号，常用于现代通信基带数字调制。
因此理解正弦信号和复指数信号，是深入理解现代移动通信技术，特别是现代数字调制技术的关键之关键！！！
也许你很熟悉正弦信号，如果你对IQ调制、QAM调制、欧拉公式、复指数运算、三角函数运算它们是如何有机的结合在一起完成现代移动通信的数字调制的，请先深入理解什么是复指数信号！
本文将深入详细的解读什么连续、离散的正弦信号，特别是什么是连续的虚指数信号或者书复指数信号。
目录
1. 现代移动通信的数字调制的架构
2 连续正弦与余弦信号：周期震荡信号
2.1 连续正弦信号定义与表示
2.2 连续正弦信号的三要素
2.3 正弦信号的产生方式
2.4 连续正弦信号作用：单通道载波调制
2.5 关于正弦与余弦
3 离散正弦信号：周期震荡信号
3.1 离散正弦信号的定义与表示
3.2 离散正弦信号的四要素
3.3 离散正弦信号的产生方式
3.4 离散正弦信号的作用：单通道载波离散数字调制（基带）
4  e为底的实指数信号：单调调增或递减信号
4.1 连续的e为底的实指数信号
4.2 离散的e为底的实指数序列
5 连续时间的“虚”指数信号：2路、同频的、正交的、正弦与余弦信号
5.1 什么是虚指数信号/函数
5.2 欧拉公式、欧拉变换
5.3. 虚指数信号/函数的三维图形
5.4 欧拉公式的推导证明
第1步：泰勒展开
第2步：关于自然常数e
第3步：自然指数的泰勒级数的实数展开
第4步：虚数与复数：复数的实数表示
第5步：复数与三角函数的转换：复数的三角函数表示
第6步：把虚数i代入e^ix的展开式
第7步：把sin(x)做泰勒级数展开
第8步：把cos(x)做泰勒级数展开
第9步：神奇的欧拉公式
5.5 虚指数信号的角度表达形式
5.6 虚指数信号的物理意义-1：圆周运动
5.7 虚指数信号的物理意义-2：含有两路同频正交载波信号
6 连续时间的复数指数信号：震荡递增或震荡衰减
6.1 复指数信号概述
6.2 实指数是单调函数
6.3 虚指数是两路震荡函数：正弦+余弦
6.4 复指数是震荡递增或震荡递减函数
6.5 复指数的应用：IQ双路载波调制！
7 离散时间的复数指数信号
7.1 数学函数表达
7.2 图形表达：震荡递增或递减
1. 现代移动通信的数字调制的架构复指数信号概念的理解是一个难点，它是由两个同频的正弦和余弦两个基本信号构成，为了更好地理论联系实际，不妨先看一下正弦信号与复指数信号在现代移动通信系统中的位置和作用！然后在单独深入这两个信号的图形、参数、数学表达和物理意义以及他们的作用。

2 连续正弦与余弦信号：周期震荡信号
2.1 连续正弦信号定义与表示
正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因这种信号的波形是数学上的正弦曲线而得名
（1）图形表示

（2）数学表示
u1(t) = U1m * sin(ωt +θ1)
u2(t) = U2m * sin(ωt +θ2)
初相θ和相位(ωt +θ)用弧度作单位.
初相不同，表明它们随时间变化的步调不一致。
比如，它们不能同时达到各自的正最大值或零。图中θ1 >θ2，u1比u2 先达到正的最大值，u1比u2相位超前一个(θ1 - θ2)角，或称u2比u1滞后一个(θ1- θ2)角。

2.2 连续正弦信号的三要素

正弦信号是周期信号，其周期T为：T=2π/ω=1/f 。

2.3 正弦信号的产生方式
（1）模拟方式：晶体震荡法

（2）锁相环：电压控制法

2.4 连续正弦信号作用：单通道载波调制
（1）射频模拟调制：模拟调制
在模拟调制中，通过任意基带信号直接控制正弦载波信号的幅度、频率。

（2）键控数字调制（射频）：二进制键控调制
在二进制调制中，通常通过不同的幅度、频率、相位来区分正弦波的波形，分别称为2-ASK、2-FSK、2-PSK调制。

二进制数字调制，采用二进制比特直接控制正弦高频载波，通常用于无线物联网终端设备的数字调制。
 

2.5 关于正弦与余弦
（1）数学表达

（2）图形表达

余弦信号是正弦信号的向左平移了π/2 ：x(t) =Asin(ω*t + φ)=Acos(ω*t + φ－π/2)，因此余弦和正弦统称为正弦信号。
3 离散正弦信号：周期震荡信号
3.1 离散正弦信号的定义与表示
（1）数学表达法

  

n是离散的时间点，每个点代表一次采样值。
（2）图形表达法

• 正弦信号的频率不变
  

图形中的每个点为采样点, 采样周期是指：两个采样点间隔时间。
采样的频率越高，越能精确的描述正弦信号。

• 正弦信号的频率变化
  

相同的频率的采用点，不同频率的正弦信号

3.2 离散正弦信号的四要素
除了除了幅度、频率和相位这三要素外，离散正弦信号增加了一个要素：就是采样周期或采样率！
假设：
采样信号的周期为Ts，Ts表示两个采用点的时间间隔。
正弦信号的周期为T=2πf。
N表示一个正弦周期内有多少个采样点,  n=0,1,2,3,4.....N-1.
N = T/Ts

3.3 离散正弦信号的产生方式
（1）数字计算：数学公式 + 离散采样
在正弦信号幅度、频率、初始相位和采样率已知的情况下，通过下列函数就可以得到正弦波的采样序列！！！

即正弦信号每个采样点的数值！！！

3.4 离散正弦信号的作用：单通道载波离散数字调制（基带）
在移动通信的基站中，由于基带处理单元BBU与射频拉远单元RRU不是同一个网元，因此通常不会用二进制比特直接控制正弦高频载波信号。
在数字基带调制中，没有物理的正弦波信号，因此通常不会用二进制比特直接控制正弦低频基带载波信号。
基带数字调制是通过数学运算的方式，而不是电路的方式完成离散数字调制！
基本的原理是先生成离散的载波信号，然后通过乘法运算，完成数字调制。详见后续数字调制章节，
这里仅仅从离散的正弦载波信号的角度做个铺垫。
4  e为底的实指数信号：单调调增或递减信号
4.1 连续的e为底的实指数信号
（1）数学表示法

（2）图形表示法

很显然，实指数函数，自变量是时间，并非是周期函数! 而是单调增或单调减的函数！
增长或减少的速度：一开始最大，随着时间的推移，其基数越来越大，增长的速度越来越小！
如果虚指数函数，会是什么样子的呢？
（3）实指数的物理意义（应用案例）

4.2 离散的e为底的实指数序列
（1）数学表达法

（2）图形表达法

（3）物理意义以及应用（抽样）

5 连续时间的“虚”指数信号：2路、同频的、正交的、正弦与余弦信号
5.1 什么是虚指数信号/函数

公式中e是自然对数的底，i是虚数单位。
这是什么图形？还是单调递增或单调递减的指数吗？
不知道啊，那就求助欧拉吧！

5.2 欧拉公式、欧拉变换
既然不知道虚指数的图像，那不妨先对信号或函数进行变化，看看虚指数内部隐藏的密码

原来是这样：虚指数是两路正交的基本信号，一路是余弦信号，另一路是正弦信号！

欧拉公式的神奇之处是：
把将复指数函数与三角函数巧妙地关联了起来，
这样虚指数的数学运算，转换成了三角函数运算+复数运算。
这样就可以用三角函数运算和复数运算来求解虚指数运算了。

5.3. 虚指数信号/函数的三维图形
那么含有两路两路正交的基本信号的虚指数信号长成什么样子呢？

虚指数函数在三维空间中螺旋函数，
虚指数函数在x轴方向的投影是正弦函数，
虚指数函数在y轴方向的投影是余弦函数。

5.4 欧拉公式的推导证明
不妨简单的推导一下：为啥虚指数函数可以用三角函数的复数形式表示！
第1步：泰勒展开
泰勒展开是用简单的多项式无限逼近一个原函数。
这么做是因为像sin(x)这样的函数，如果代入x=4很难算出结果，但是将x的值代入形如 的多项式就很容易计算。
具体是用原函数的导数实现的，把函数展开成多项式，公式如下：

其中Rn(x)是余项。

第2步：关于自然常数e
e是自然常数(欧拉数)，它是一个约等于2.718的无理数
定义是：

第3步：自然指数 的泰勒级数的实数展开
把在x=0处展开，由于=1且的导数还是，展开后得到

上图是，以及展开式前5项和前10项拟合的图像，n越大，拟合程度越接近。

第4步：虚数与复数：复数的实数表示
实数：是x数轴上的一个点，即x数轴上的每个点，代表一个数，代表是一个实数。实数的单位是1, 任何数相与1乘还是等于其自身。
虚数：是y数轴上的一个点，即y数轴上的每个点，代表一个数，代表是一个虚数。虚数的单位是i，且 。任何实数与i相乘，表明把x轴上的点，旋转90°，得到对应位置的虚轴上的点。，x轴上的1，连续旋转2个90°，得到180°，正好是-1的位置。
复数：把数轴上的点，扩展到了整个平面，平面上的每个点，代表一个数，代表的是一个所谓的复数。任何复数与i相乘，表明把这个复数代表的向量逆时针旋转90度，得到所在位置的点。
复数的表达形式：Z= a + i*b的数，其中a,b是实数，分别表示x轴和y轴上的一个实数点。
也就是说：复数是：分别使用相互垂直的x轴和y轴上的一个实数点组合而成的（a, b）一个平面上的点，如下图所示。

上述的复数点Z, 可以表示成：Z= a + i*b； 或Z(a,b) 。
第5步：复数与三角函数的转换：复数的三角函数表示
在上图中， ,  r称为向量Z的模, θ是Z的辐角.
上述的复数点就可以表示成：Z=a * i *b = r*cosθ+ i*r*sinθ 或 Z (r, θ)
成功的实现了复数的实数表示到复数的三角函数表示的转换！
至此，在复平面上的点，有4中表示法：

Z= a + i*b； 或  Z(a,b) 。
Z= r*cosθ+ i*r*sinθ 或 Z (r, θ)。
如果假设 r = 1，即单位圆：

则得到Z= cosθ+ i*sinθ 或 Z (1, θ)。
如果假设θ=ωt, 则得到复数Z= cosωt+ i*sinωt 或 Z (1, ωt)。
现在的问题是：还是看不虚指数与三角函数的关系啊？
那是自然，因为欧拉公式的证明还没有结束。
第6步：把虚数i代入e^ix的展开式
虚数i是-1开方，因此有i^1=i, i^2=-1，i^3=-i，i^4=1

此时可以看到其结果分为实部和虚部两部分
第7步：把sin(x)做泰勒级数展开
在x=0处展开，由于sin(0)=0，cos(0)=1，sin’(x)=cos(x)，cos’(x)=-sin(x)

第8步：把cos(x)做泰勒级数展开
在x=0处展开

第9步：神奇的欧拉公式
由以上几步，可以看到e^ix的实部和虚部正好对应sin(x)和cos(x)的展开，至此，得到欧拉公式：

上述公式，正好是单位圆的复数表示：Z=cosθ+ i*sinθ。

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。
当θ = π时，就得到欧拉公式“上帝公式“的欧拉恒等式：

5.5 虚指数信号的角度表达形式

5.6 虚指数信号的物理意义-1：圆周运动

如果说正弦信号：是一个绕着x轴上下震动的函数。

如果说余弦信号：是一个绕着y轴上下震动的函数。
那么虚指数信号：就是一个绕着圆周运动的函数，如果以时间为第三个轴，则得到如下的图像：

虚指数函数在三维空间中螺旋函数.

5.7 虚指数信号的物理意义-2：含有两路同频正交载波信号

用虚指数函数表示物理信号的意义在于：用一个简单的函数，就包含两路同频的正交载波信号，一路是cosωt，另一路是sinωt。

虚指数函数在x轴方向的投影是正弦函数，
虚指数函数在y轴方向的投影是余弦函数。
 
6 连续时间的复数指数信号：震荡递增或震荡衰减
6.1 复指数信号概述
复变指数函数是实变量指数函数在复数域中的推广。
如下的函数e^z称为复变、指数函数

复指数函数是实指数函数e^x与e^i*y虚指数函数的乘积。

6.2 实指数是单调函数
实指数在前面已经讨论过：是一个单调递减或递增的函数！

6.3 虚指数是两路震荡函数：正弦+余弦

6.4 复指数是震荡递增或震荡递减函数
（1）复指数的数学表示

复指数是实指数与虚指数相乘的结果，即用正弦载波或去调制指数信号！
（2）复指数的图形表示：在X轴或y轴方向上的投影。

（3）复指数的通用表达式

6.5 复指数的应用：IQ双路载波调制！
IQ双路载波调制是复指数在现代通信系统中最广泛的应用之一。
（1）虚指数信号载波信号Z

示意图如下：

（2）虚指数信号的调制信号S

示意图如下：

（3）虚指数信号的调制过程
C = S * Z
    =  r * (cos(θ0) + j*sin(θ0))  * (cos(ωt) + i * sin(ωt))
很显然，上述的计算及其不方便，原因如下：

• 这是两个复数向量的相乘： S * Z
  
• 这是这是三角函数的运算:    sinx、cosx
  

不妨把他们转换为复指数后再进行运算，看看是否能够简化计算。
（4）虚指数--已调信号

注意：调制后的信号依然是虚指数信号。
（5）复指数/虚指数调制的优点

• 调制信号、载波信号、已调信号都是复指数函数（实际只有虚部）
  
• 相比与三角函数相乘的计算，复指数调制运算非常简单：只需要进行简单的加减运算。
  
• 调制信号的结果非常直观：已调信号的幅度变为r，已调信号的频率不变，已调信号的初始相位变为θ0。这不就是正交幅度调制QAM吗？！
  

复指数信号的最重要的意义上在于：
提供了一种简便的方法（虚指数运算），在不改变载波信号的频率情况下，实现对已调信号的幅度和相位的双重控制。
关于复指数调制，后续还将进一步的介绍，本文重点在复指数信号本身！
7 离散时间的复数指数信号
7.1 数学函数表达

7.2 图形表达：震荡递增或递减