星星之火-3：IQ两路幅度调制的数学原理--复数与三角函数

Green

第一章 是什么是时域电信号
电信号：是指随着时间而变化的电压或电流，在数学描述上可将它表示为时间的函数，并可画出其波形，称为电信号。

电信号的形式是多种多样的，可以从不同的角度进行分类。
1.1 根据信号的随机性：可以分为确定信号和随机信号；
(1) 确定信号：
是指可以用明确的数学关系或者图表描述的信号。若电信号被表示为一确定的时间函数，对于指定的某一时刻，可以确定一相应的函数值，这种信号被称为确定性信号。
确定信号是时间的某种函数，规律，如线性函数，指数函数，对数函数，sin函数，cos函数等等，

确定函数，有一个显著的特征：在特定的函数规律下，可以算出任意时间点t时信号的幅度值。
(2) 随机信号：
信号的幅度与时间没有明确的关系对应关系，但服从一定统计规律的信号，称为不确定信号，又称为随机信号。

随机信号的幅度与时间没有对应的规律，给定一个任意时间，无法预知或推测出信号的幅度值。
1.2.  根据信号的连续性：可以分为连续时间信号和离散信号；
在电子线路中将信号分为模拟信号和数字信号。

(1) 连续信号：
在整个连续时间范围内都有数值的信号，是时间连续信号或连续时间信号(continuous time signal)，简称连续信号。
(2) 离散信号：
是在连续信号上采样得到的信号。离散信号是一个序列，即其自变量是“离散”的。这个序列的每一个值都可以被看作是连续信号的一个采样。离散信号，在时间轴上是不连续的的信号。
1.3.  根据信号的周期性：可分为周期信号和非周期信号
(1) 非周期信号：
是电信号瞬时幅值不随随时间变化而重复变化的信号。

(2) 周期信号：
是周期信号瞬时幅值随时间重复变化的信号。
x（t）=x（t+kT），k=1，2......
式中t表示时间，T表示周期。

周线信号的特征:

• 幅度的变化与时间的变化，有一个确定的规律，这个规律就是函数。
• 幅度的变化，随时间的变化，是重复出现的，这个重复的时间长度，就为周期。
  

符合上述特征的常见函数或信号有：
正弦信号、脉冲信号、方波信号、三角函数以及它们的整流、微分、积分。
（4）信号调制中用到载波信号

• 确定信号，而不是随机信号
• 连续信号，而不是离散信号
• 周线信号，而不是非周期信号
• 正弦或余弦信号，而不是方波信号或脉冲信号。
  

因此，有必要了解一下正弦信号产生方法以及其数学运算规律以及其物理含义。
第2章  载波信号产生
2.1 晶体震荡器，载波信号的产生

2.2 频率波形

只有一个固定的频率f。
2.3 载波的时域波形

• 载波信号的电流或幅度随时间周期性变化。
• 这种变化符合波的特性。
  

周期T：信号重复幅度重复的时间，周期越长，变化越慢，周期越短，变化越快。
频率f：就是单位时间1s内，出现重复波形性波形的个数。即单位时间内完成周期性变化的次数。频率越低，变化越慢，频率越高，变化越快。
波长λ：是指波在一个振动周期内传播的距离。波长λ等于波速v和周期T的乘积，即λ=VT ,电磁波速度=光速=3*10^8米/s。
T = 1/F
比如，
频率f=1Hz，波形个数n=1， 周期T=1s
频率f=1KHz，波形个数n=10^3， 周期T=1ms
频率f=1GHz，波形个数n=10^6， 周期T=1us
频率f=10GHz，波形个数n=10^7， 周期T=100ns
频率f=1THz，波形个数n=10^9， 周期T=1ns
函数表达：x（t）=x（t+kT），k=1，2......为周期数，T为周期长度，t为时间。
很显然，这种数学描述方式不太方便。

• 描述波的幅度变化的函数或规律为正弦或余弦函数。
  

载波信号符合正弦或余弦函数的变化规律，可以通过三角函数来描述这种周期信号。
因此有必要先了解一下三角函数！！！
第3章  圆与三角函数的变化规律
3.1  圆
圆是自然界最理想的、最普遍的周期图形，三角函数就是从圆开始的。
圆：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆

圆本身没有周期、角度、频率的概念，圆只有原点O,  半径R，直径D，周长C、面积S等几何特性。周长C = 2πR。
然后，沿着圆周的匀速运动就形成了周期！！长度的周期为周长.
3.2  圆周的匀速运动

距离L = V * T， 如果速度恒定，运行的距离就是以周长为周期，以时间为自变量的周期函数。
虽然是周期函数，但距离与t的函数关系是线性关系：

3.3 圆的角度匀速旋转运动
钟表的运动就匀速周期旋转运动。

但钟表的重复周期是时间t本身，
如果圆周上的某个点的角度θ为自变量，其在x轴与y轴上的投影为因变量，就得到了三角函数。
3.4 圆与三角函数
三角函数是基本初等函数之一。
是以角度（数学上最常用弧度制）为自变量，其在x轴与y轴上的投影为因变量的函数，称为三角函数。可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。
三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的最基础数学工具之一。
在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
（1）三角函数原始的角度表示

x  = r*cosθ = cosθ  //半径r=1, 即单位圆
y =  r*sinθ = sinθ   //半径r=1, 即单位圆

此时的三角函数的因变量是角度θ，θ的周期是360°。
（2）三角函数的弧度表示
然而，单元圆的周长为2π，这称为弧度。
弧度与角度有一一对应的关系：某一个角度，就对应某一个弧度。

至此，就可以得到三角函数的弧度表示

a  = cosx   //x为弧度，周期为2π
b =  sinx   //x为弧度，周期为2π
（3）三角函数的角速度表示法

ω为匀速旋转的角速度，即单位时间旋转的角度。
θ = x = ωt    //t是时间，角度θ 随着时间的推移，而变化。
于是得到三角函数：
a  = cosωt      //t是时间
b =  sinωt      //t是时间
至此，圆周上的一个点P，通过匀速的角速度在圆周上旋转运动，其在x轴和y轴上的投影的幅度，随时间t变化的函数：余弦与正弦函数。
（4）三角函数的频率表示法
频率f ：单位时间1s内，出现重复波形性波形的个数。
由于每个波形的弧度周期是2π，因此单位时间内选择的角度为2πf
角速度：单位时间1s内，角度的变化大小。
于是角速度ω=Φ/t=2π/T=2πf，角度与频率的关系是ω=2πf，时线性关系。

至此得到了：载波电信号的电压幅度或电流强度随时间t变化的规律，符合三角函数规律。
其中频率是影响这个规律的可调参数。

a  = cos（2πf*t）      //t是时间，cos：点P在单位圆上的旋转时，其幅度在x轴上的投影的规律，就是cos函数
b =  sin（2πf*t）       //t是时间， sin：点P在单位圆上的旋转时，其幅度在y轴上的投影的规律。就是sin函数
a和b时候同一个点P在x轴与y轴的投影，因此sinx与cosx实际上是相与关联的，满足一定的关系
（1）旋转的角度相同
余弦函数的角度=正弦函数的角速度=圆周旋转的角速度

在任何时刻，三者的角速度是相同的。
（2）初始角度相差90°，即π/2。
由于旋转的角度度相同，实时角度也是相差90°。
cos（ωt- π/2） ＝ -sinα
sin（ωt + π/2）＝ cosα
（3）合成与分解关系：
a^2 + b^2 = c^2 =>

也就是说，y = f (ωt) = 1的单位圆函数，可以分解成a=sin（ωt）和b=cos（ωt）函数。
或者说a=sin（ωt）和b=cos（ωt）可以合成一个单位圆。
这是双载波调制的基础！！！
3.5. 三角函数的常见运算
（1）和差化积

（2）积化和差

第4章 复数
4.1 自然数：小学一年级
自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。
在数轴上：自然数位于数轴右方的一个个离散的点。

自然数支持：加、减、乘、除运算。
自然数加法运算：两个自然数相加还是自然数，称为加运算是封闭的。
自然数减法运算：两个自然数相减，就不是封闭了，如1-3，就不是自然数了，跑出自然数之外。
1-3是很物理含义呢？
于是，增加了负数的概念，并把自然数切成0与正数，从而把自然数的范围扩充到了整数=负数，0，正数。
4.2 负数与整数：初中数学
负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反、对称的量。
负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。一个负数是其绝对值的相反数。
在数轴上：整数位于数轴左方的一个个离散的点。

这样以来，整数的加法和减法运算，都是封闭了，另个整数加，还是整数，两个整数相减还是整数。
整数支持：加、减、乘、除运算。
乘法运算：也是封闭的，两个整数相乘，得到的还是整数。比如 1 * （-2）= -2
除法运算：就不是封闭的了，两个整数相除，不在是整数，跑出整数范围之外了，比如 1 % 2 = ？
1/2=0.5
于是，在整数的基础上，增加了小数的概念，从而把整数的范围扩充到了实数：整数+小数
4.3 小数与实数
小数，就是一个数中包含比最小自然数最小单位1还小的数，如1.123， 0.5.
有限小数：小数部分后有有限个数位的小数。如3.1465，0.364，8.3218798456等，有限小数都属于有理数，可以化成分数形式。
无限小数：小数部分后有无限个数位的小数。又分为无限循环小数与无限不循环小数。
小数与整数共同构成了实数。
在数轴上：小数位于一个个离散的整数点之间，实数构成了整个数轴上的点。

小数的引入，把数据的范围从整数扩充到了实数。
整数支持：加、减、乘、除运算，所有的运算都是封闭的。

实数还支持新的运算：乘方运算aⁿ 与开方运算、幂运算、指数运算、log运算。
乘方aⁿ：求n个相同因数乘积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)。如10*10*10=10^3,   2*2*2=2^3， 当aⁿ看作a的n次乘方的结果时，也可读作“a的n次幂”或“a的n次方”，其中，a叫做底数(base number)，n叫做指数(exponent)。

开方（英文rooting），指求一个数的方根的运算，为乘方的逆运算：
指数函数：变量在指数位置

幂函数：变量在底数的位置

对数运算：

三角运算：cos或sin运算
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

在上述运算所有的中，开方运算不是封闭的，如 a^2 =  1,  a=+/- 1,  即两个-1相乘等于1，两个1相乘等于1。
如果a^2 =  -1， a是多少呢？即-1的开方是多少呢？很显然，这种运算的结果超出了实数空间，
因此，需要多这种实数空间进行扩展。
于是，增加了虚数的概念，从而把实数的范围扩充到了复数的范围，复数=实数+虚数。
4.4 虚数与复数
（1）虚数与复数的定义
虚数：实数的基本单位是1（正数的基本单位）和-1（负数的基本单位），即i² =1， 而虚数的基本单位是i，i² = - 1，虚数的基本单位是i（正虚数）与-i（负虚数）。
http://www.ruanyifeng.com/blog/2012/09/imaginary_number.html
虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。
复数：实数与虚数的组合，就为复数，用a + bi的复数表示。其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。
在双轴的数轴上：实数落在x轴上，虚数落在y轴上。

也就是说，数值的空间由单根线的数轴，扩展到了整个平面空间！
在复平面上，开方的运算也是封闭！！
复数分布在整个平面上，可以用a+ib表示
a表示平面上任意点P在x轴上的幅度投影
b表示平面上任意点P在x轴上的幅度投影
（2）复数的加运算与几何意义

两个空间复数点的相加，就是各个复数点对应的向量的相加。
（3）虚数的几何意义上

i² = - 1
虚数i，  是整数1，逆时针旋转90° 1次的位置
复数-1，是复数i，逆时针旋转90° 1次的位置
复数-1，是整数1，逆时针旋转90°2次的位置。
因此，我们可以得到下面的关系式：

(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)

如果把+1消去，这个式子就变为：

(逆时针旋转90度)^2 = (-1)

将"逆时针旋转90度"记为 i ：

i^2 = (-1)

这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，i 本身不是一个数，虚数 i 就是逆时针旋转90度，是一个旋转量。
这是虚数与实数之间的本质关系！！！
这种关系有点像sinx与cosx的关系！！！
（4）圆周运动的复数表示法
y = f (ωt) = 1的单位圆函数，可以分解成a=sin（ωt）和b=cos（ωt）函数。
说a=sin（ωt）和b=cos（ωt）可以合成一个单位圆。
用复数表示如下：
y（t） = cos（ωt） + i * sin（ωt）；

因此，
圆上的任意一点，任意时刻的幅度：A = r = r * (sinx^2 + cosx^2)
圆上的任意一点，任意时刻的角度：θ = ωt
圆上的任意一点，任意时刻的复数表达式 y（t） = r *（ cos（ωt） + i * sin（ωt））；
基带信号是宏观！
载波信号是微观！
投影到x轴上就是余弦运动
投影到y轴上就是正弦运动
所以其运动即是正弦运动也是余弦运动，取决与你如何观察它！！！
类似与量子的叠加态！
然而，如果不投影，直接在更高维度的平面上看，这表现为简单的圆周运动！
因此量子的叠加态，是不是意味着、在更高的维度上，实际上存在简单的函数描述？
只是目前，还没有找到这个高纬度的函数描述而已？
所以在不同维度上，表现出不同的运动特征？？
上图中的P点，就是一个量子的“粒子性”
在x轴与y轴上的投影，是正弦与余弦运动，体现出量子的“波性”
而高纬度的圆周运动，体现出“波粒二向性”
如果把平面运动，上升到三维的球面运动，就是量子的在三维空间中的运动规律！！！
即是波，也是粒子！
量子的纠缠，是这两个量子在任何一个维度上的投影的运动规律，其相位始终相反的运动规律！即相位差180°。
电子运动的角频率，就是其电磁波的频率，而不是光速。光速，体现为波向前推进的速度。而不是光子或电子自身运动的速度！！！光子或电子在二维空间的运动是圆周运动，在三维空间是球形运动。
人的观察点一旦确定，选择的投影方向就确定了！这就是为啥，观察的时候，其状态才确定下来！。
第5章 单路幅度调制
5.1 单路幅度调制的模型

5.2 单路幅度调制的数学表达
基带信号：A（t）
载波信号：cos （ωt）
调制后信号：Sm（t）=A（t）* cos （ωt）
不改变载波信号的频率与相位，只改变载波信号的幅度
5.3 单路幅度调制的时域波形

因此，单载波幅度调试，本质上是，决定信号的幅度，有两个因素
（1）载波信号的幅度：cos （ωt）
（2）基带信号的幅度：A（t）
这两个信号的幅度，都随着时间的变化而变化。
载波信号的幅度变化， 是周期变化，属于“快变”
基带信号的幅度变化，非周期信号，属于“慢变”，由称为包络。
5.4 单路幅度调制的频域波形

5.5  单路幅度调制信号的复数表达式

S（t） = A(t)* (cos(ωt) + i * sin(ωt))
瞬时的圆周的半径取决于：基带信号A（t）
瞬时的旋转的角度取决于：ωt
单载波幅度调制信号的本质：（与电子绕着原子核运动类似）
（1）圆周运动：速度取决与载波信号的频率ω。
（2）圆的半径：变化规律取决于基带信号A(t)
6. IQ两路幅度调制
两路单载波的幅度调制，本质上是一路单载波的角度调制
6.1 IQ两路幅度调制的模型
IQ调制就是数据分为两路，分别进行载波幅度调制，两路载波同频且相互正交。 I：in-phase（同相）, q: quadrature（正交）。

Q调制是矢量的方向问题，同相就是矢量方向相同的信号；正交分量就是两个信号矢量正交（差90°）；IQ信号是一路是0°或180°，另一路是90°或270°，叫做I路和Q路，它们就是两路正交的信号。
因为I和Q是在相位上面正交的（不相干），可以作为两路信号看待。所以频谱利用率比单相调制提高一倍。但是IQ对解调要求高于单相（必须严格与I相差90度的整数倍，否则Q信号会混进I，I也会混进Q）。
简单的说就是数据分为两路，分别进行幅度调制，两路载波相互正交。 正交信号就是两路频率相同，相位相差90度的载波，一般用sin和cos，与I，Q两路信号分别调制后一起发射，从而提高频谱利用率。
IQ在2G/3G/4G/5G等移动通信系统中得到了广泛的应用。
6.2  IQ调制的实数表达
I路幅度调制：   I(t) = x(t)  *  cos(ωt)
Q路幅度调制： Q(t) = y(t) * -sin(ωt)
S（t）= I(t) + Q(t) = x(t)  *  cos(ωt) + y(t) * -sin(ωt)
6.3 两路幅度调制的本质是单载波相位调制
这需要上述的调制后的数学表达式进行三角函数的数学变换，看看变换后函数表达式是什么样子的？

这种三角函数的数学变化得到：
S（t）= I(t) + Q(t) = x(t)  *  cos(ωt) + y(t) * -sin(ωt) =》各种三角变换=》
S（t）=  A(t)cos(ωt+θ(t))
我们可以看出，经过单载波的幅度调制，调制后的信号，依然是一个频率为ω的余弦波，但幅度与相位随时间的变化而变化。
即通过简单的幅度调制，调制后的波形变成了相位调制！初始相位=θ(t)。
如果说，通过A(t)cos(ωt+θ(t))看还是不很直观，我们以QAM调试实例看一下更直观的结果。
案例1：
x（t） = 1；
y（t）=  1；
S（t）= I(t) + Q(t) = cos(ωt) -sin(ωt)  = √2 * (ωt+π/4)
案例2：
x（t） = -1；
y（t）=  1；
S（t）= I(t) + Q(t) = -cos(ωt) -sin(ωt)  = √2 * (ωt+3π/4)
上述公式中，省略了复杂的标量三角函数的中间变化过程。
有没有一种直观的方式，能够表达这种变化呢？这就追溯到三角函数的矢量表达！
6.3  IQ调制的复数表达

（1）I路与Q路都是周期信号
（2）I路与Q路相位差90°
（3）I路与Q路角频率相同为ω
I(t)  =   x(t)*  (cos(ωt) + i * sin(ωt))
Q(t) =  y(t)* (cos(ωt+π/2) + i * sin(ωt+π/2))
=  y(t)* -sin(ωt) + i * y(t)* cos(ωt)
S（t）= I(t) + Q(t)  = （x(t)cos(ωt)-  y(t)* sin(ωt)） + i *(x(t)* sin(ωt) + y(t)* cos(ωt))
这个S（t）的复数表达，在x轴（实轴）方向的投影，正好与IQ调制的实数表达是一致的！
复数表达带来的好处就是：
可以通过向量的运算得到调制后的波形！不需要通过复杂的三角函数的变换得到调制后信号的表达式！计算过程明显简单很多！
从向量的运算的角度，s（t）信号的特性：
（1）旋转的角度ω与载波信号一样
（2）调制后信号的初始角度θ0，随着I和Q路的幅度变化而变化。
这就是通过简单的单载波的幅度调制，完成双路载波叠加后的角度调制的基本原理！
案例1的向量表达：

案例2的向量表达：